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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BMAE于点M,点OAB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.

(1)求证: AE为⊙O的切线;

(2)BC=8,AC=12时,求⊙O的半径和BG的长;

(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.

【答案】(1)见解析;(2)r=3;(3)BG=2.

【解析】分析:(1)连接OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到AEOM后即可证得AE O的切线;

(2)设 O的半径为R,根据OMBE,得到OMA∽△BEA,利用平行线的性质得到,即可解得R=3,从而求得 O的半径为3;

(3)过点OOHBG于点H,则BG=2BH,根据∠OME=MEH=EHO=90°,得到四边形OMEH是矩形,从而得到HE=OM=3BH=1,证得结论BG=2BH=2.

详解:(1)连接OM.AC=AB,AE平分∠BAC,

AEBC,CE=BE=BC,

OB=OM,

∴∠OBM=OMB,

BM平分∠ABC,

∴∠OBM=CBM,

∴∠OMB=CBM,

OMBC,

又∵AEBC,

AEOM,

AE是⊙O的切线;

(2)设⊙O的半径为r,OMBE,

∴△OMA∽△BEA,

,由(1)BE=4,即,解得r=3,

∴⊙O的半径为3;

(3)过点OOHBG于点H,

BG=2BH,∵∠OME=MEH=EHO=90°,

∴四边形OMEH是矩形,

HE=OM=3,

BH=1,

BG=2BH=2.

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