Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2$\sqrt{3}$，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明∠ABD=90°-∠BAE=30°，可知AB=2AD，由因为AE=2AD，所以AB=AE，从而可知△ABE是等边三角形．
（2）由（1）可知：∠ABE=∠AEB=60°，AE=BE，然后求证△BEG≌△AEF即可得出BG=AF；
（3）由于S_{四边形AGEF}=S_△AEG+S_△AEF=S_△AEG+S_△BEG=S_△ABE，故只需求出△ABE的面积即可．

解答 解：（1）AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC=60°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAE=30°，
∴AB=2AD，
∵AE=2AD，
∴AB=AE，
∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
AE=BE，
由（1）∠CAE=60°
∴∠ABE=∠CAE，
∵∠NEM=∠BEA=60°，
∴∠NEM-∠AEN=∠BEA-∠AEN，
∴∠AEF=∠BEG，
在△BEG与△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBE=∠FAE}\\{BE=AE}\\{∠BEG=∠AEF}\end{array}\right.$
∴△BEG≌△AEF（ASA）
∴BG=AF；
（3）由（2）可知：△BEG≌△AEF，
∴S_△BEG=S_△AEF，
∴S_{四边形AGEF}=S_△AEG+S_△AEF
=S_△AEG+S_△BEG
=S_△ABE
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形AGEF}=4$\sqrt{3}$

点评 本题考查全等三角形的判定，涉及等边三角形的性质，三角形面积计算问题，综合程度较高．