Question

已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．
（1）求证：BE=IF；
（2）若AI⊥CE，设Q为BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT•AG的值；
（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O₁交y轴于另一点N．设⊙O₁的半径为R，当时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥BD，
∴弧BE=弧DE．
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4，
∴∠5=∠IBE．
∴BE=IE．

（2）解：连接QC、TB，
则∠6+∠CBQ=90°，
又∠7+∠8=90°，而∠6=∠7，
∴∠CBQ=∠8=∠9．
∴△ABG∽△ATB．
∴AB²=AG•AT．
∵AI⊥CE，
∴I为CE的中点．
∴AE=AC，IE=IC．
∴△BEO∽△CBE．
∴OE：OB=BE：CE=1：2．
设⊙A的半径为R，
由AB²-OA²=BO²，OE=R-3，
得R²-3²=4（R-3）²
解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）．
∴AT•AG=AB²=25．
（方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD）

（3）解：②的值不变．
证明：作O₁K⊥MN于K，连接O₁N、PN、BM，
则MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，
∴==2sin∠NO₁K=2sin∠1
由直线y=x+3得OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠2=∠3．
又∠2=∠4+∠5，∠3=∠2+∠6，
∵∠5=∠6，
∴∠1=∠4=∠NO₁K，=2sin∠4=2×=．
所以的值不变，其值为．
分析：（1）已知AE⊥BD，由垂径定理得，弧BE=弧DE，由圆周角定理得∠1=∠2，AH是∠ABO的平分线，则∠3=∠4，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和得，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4，所以∠5=∠IBE，由等角对等边得证BE=IE；
（2）连接QC、TB，由同角或等角的余角相等得，∠CBQ=∠8=∠9，可证△ABG∽△ATB得到AB²=AG•AT，又因为AH⊥CE，由垂径定理得，H为CE的中点，即BE=EC，得证△BEO∽△CBE，得OE：OB=BE：CE=1：2，设⊙A的半径为R，由勾股定理得，AB²-OA²=BO²，OE=R-3，可求得，R=5，即AT•AG=AB²=25；（方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD）
（3）②的值不变．作O₁K⊥MN于K，连接O₁N、PN、BM，由垂径定理得，MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，由正弦的概念得，==2sin∠NO₁K=2sin∠1，由直线y=x+3求得OB=OD=4，即OM⊥BD，由垂径定理得∠2=∠3，由三角形的外角与内角的关系得：∠2=∠4+∠5，∠3=∠2+∠6，由圆周角定理知∠5=∠6，所以∠1=∠4=∠NO₁K，=2sin∠4=2×=．
点评：本题利用了垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，勾股定理圆周角定理，一次函数的图象与坐标轴的关系，三角形的外角与内角的关系求解，综合性强，涉及多个知识点．