Question

如图，在△ABC中，两个外角的平分线BD、CD相交于点D．
（1）若∠A=30°，则∠D=

75°

．
（2）若∠A=50°，则∠D=

65°

．
（3）你发现∠A与∠D有怎样的大小关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠A=30°，得出∠ABC+∠ACB=150°，则∠EBC+∠FCB=210，BD、CD是外角平分线，得出∠DBC+∠DCB=105°，∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-105°=75°；
（2）由（1）的方法得出，∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-115°=65°；
（3）由外角的意义得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，所以∠EBC=∠A=180°+∠A，由角平分线的意义，得出∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠FCB）；进一步推出：∠D=90°-

1

2

∠A的结论即可．

解答：（1）若∠A=30°，则∠D=75°；
（2）若∠A=50°，则∠D=65°；
（3）∠D=90°-

1

2

∠A．
理由如下．
∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，
∴∠EBC=∠A=180°+∠A，
∵BD、CD是外角平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠EBC，∠DCB=

1

2

∠FCB，
∴∠DBC+∠DCB
=

1

2

（∠EBC+∠FCB）
=

1

2

（180°+∠A），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）
=180°-

1

2

（180°+∠A）
=90°-

1

2

∠A．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．