Question

1．如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A₁BC₁D₁，C₁D₁与AD交于点M，延长DA交A₁D₁于F，若AB=1，BC=$\sqrt{3}$，则AF的长度为（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
• C． $\frac{3-\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 方法1，先求出∠CBD，根据旋转角，判断出点C₁在矩形对角线BD上，求出BD，再求出∠DBF，从而判断出DF=BD，即可．
方法2，延长BA交A₁D₁于H，先确定出∠AFD₁=30°，在用含30°的直角三角形的性质依次求出BH，AF即可．

解答 解法1，：连接BD，如图所示：

在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=1，
在Rt△BCD中，CD=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=2，
∴∠CBD=30°，∠ABD=60°，
由旋转得，∠CBC₁=∠ABA₁=30°，
∴点C₁在BD上，
连接BF，
由旋转得，AB=A₁B，
∵矩形A₁BC₁D₁是矩形ABCD旋转所得，
∴∠BA₁F=∠BAF=90°，
∵BF=BF，
∴△A₁BF≌△ABF，
∴∠A₁BF=∠ABF，
∵∠ABA₁=30°，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABA₁=15°，
∵∠ABD=60°，
∴∠DBF=75°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∴∠BFD=75°，
∴DF=BD=2，
∴AF=DF-AD=2-$\sqrt{3}$，
方法2，如图，延长BA交A₁D₁于H，
由旋转得，A₁B=AB=1，∠CBC₁=∠ABA₁=30°，∠BA₁D₁=∠BAF=90°，
在四边形A₁BAF中，根据四边形的内角和得，∠A₁FA=150°，
∴∠AFH∠=30°，
在Rt△A₁BH中，A₁B=1，∠A₁BA=30°，
∴BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AH=BH-AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1
在Rt△AFH中，∠AFH=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$AH=2-$\sqrt{3}$
故选：A．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角函数；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．