Question

如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，F是CD边上一点，且∠EBF=45°，则tan∠EFB的值为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：计算题

分析：根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAE绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，根据旋转的性质得∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，所以点G、C、F共线，再利用“SAS”证明△BEF≌△BGF，得到∠EFB=∠GFB，设正方形的边长为2a，CF=x，则AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a-x，EF=FG=x+a，在Rt△DEF中，利用勾股定理得到a²+（2a-x）²=（x+a）²，解得x=

2

3

a，然后在Rt△BCF中，根据正切的定义得tan∠FBC=

BC

FC

=3，即tan∠EFB的值为3．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
把△BAE绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，
∴∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，
∴点G、C、F共线，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，BG=BE，
在△BEF和△BGF中，

BF=BF ∠EBF=∠GBF BE=BG

，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∴∠EFB=∠GFB，
设正方形的边长为2a，CF=x，则AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a-x，EF=FG=x+a，
在Rt△DEF中，∵DE²+DF²=EF²，
∴a²+（2a-x）²=（x+a）²，
解得x=

2

3

a，
在Rt△BCF中，
tan∠FBC=

BC

FC

=

2a

2 3 a

=3，
∴tan∠EFB=3．
故答案为3．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和锐角三角函数的定义．