Question

如图，四边形ABDC、CDFE、EFHG都是正方形．
（1）求证：△ADF∽△HAD；
（2）利用上述结论，求证：∠AFB+∠AHB=45°．

Answer 1

分析：（1）如果要求证△ADF和△HDA相似，通过图象我们可以知道它们有公共角，只要得到

AD

DF

=

DH

AD

即可，设正方形的边长为1，求出AD，DF，DH的长度即可，
（2）根据（1）的结论推出相等的对应角，根据三角形外角的性质得出∠ADB=∠DAF+∠AFD，而根据已知条件很容易就可得到∠ADB的等于45°，然后通过等量代换就可以推出∠AFB+∠AHB=45°

解答：（1）证明：设正方形ABDC、CDFE、EFHG的边长为1，
则AD=

2

，DF=1，DH=2，
∵

2

1

=

2

2

，
∴

AD

DF

=

DH

AD

，
又∵∠ADF=∠HDA
∴△ADF∽△HDA；

（2）证明：∵△ADF∽△HDA，
∴∠AHB=∠DAF，
∵ABDC是正方形，
∴AB=BD，△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，
又∵∠ADB=∠DAF+∠AFD，
∴∠AFB+∠AHB=45°．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是通过设正方形的边长求出三角形相似，然后再求证其他的结论就容易多了