Question

13．已知在△ABC和△AEF中，AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF=78°，FC、BE相交于点M，连接AM．
（1）求证：BE=CF；
（2）求证AM平分∠BMF，并计算∠AME的度数．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAB=∠FAC，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）过A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，根据全等三角形性质和三角形面积求出AQ=AH，根据角平分线性质得出即可；根据三角形的内角和，可得∠CMB=∠BAC=78°，∠BMA=∠AMF，即可求出答案．

解答 （1）①解：∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在△BAE和△CAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△CAF（SAS）．
BE=CF；


（2）证明：如图1：

过A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，
∵△BAE≌△CAF，
∴△BAE的面积=△CAF的面积，CF=BE，
∴$\frac{1}{2}$CF×AH=$\frac{1}{2}$BE×AQ，
∴AH=AQ，
∵AQ⊥BE，AH⊥CF，
∴AM平分∠BMF．
∵∠ABC+∠ACB=∠MBC+∠MCB=102°，
∴∠CMB=∠BAC=78°，AM平分∠BMF，
∴∠EMF=∠CMB=78°，∠BAM=180°-∠CMB=102°，
∠AMF=∠BMA=$\frac{1}{2}$∠BMF=$\frac{1}{2}$（180°-∠CMB）=$\frac{1}{2}$（180°-78）=90°-39°=51°，
∴∠AME=∠AMF+∠EMF=51°+78°=129°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．