Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=4$\sqrt{2}$，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

解答 （1）证明：连接AD，OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠ODF+∠DFA=180°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°．
∴∠ODF=90°．
∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE，
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=22.5°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠BAC=45°．
∴∠AOE=90°，
∵AE=4$\sqrt{2}$，
∴OA=OE=4．
S_阴影=S扇形_AOE-S_△AOE=4π-8．

点评 本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．