Question

16．四边形ABCD和CEFG都是正方形（正方形的性质是四条边都相等，四个角都是直角），连结BG并延长DE于点H．
（1）求证：△BCG≌△DEC；
（2）求证：BH⊥DE；
（3）若正方形ABCD的边长为4 cm，当CG的长为多少时，BH垂直平分DE？写出你的推演过程．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明△BCG≌△DCE．
（2）由△BCG≌△DCE，推出∠GBC=∠EDC，由∠BGC=∠DGH，推出∠DHB=∠BCG=90°．
（3）因为BH⊥DE，所以当BD=BE时，DH=HE，即BH垂直平分DE，求出BE、CE的长即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），

（2）证明：∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠EDC，
∵∠BGC=∠DGH，
∴∠DHB=∠BCG=90°，
∴BG⊥DE；

（3）解：∵BH⊥DE，
∴当BD=BE时，DH=HE，即BH垂直平分DE，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD=BE=4$\sqrt{2}$，
∴CE=BE-BC=4$\sqrt{2}$-4，
∴CG=CE=4$\sqrt{2}$-4，
∴当CG=4$\sqrt{2}$-4时，BH垂直平分DE．

点评 本题主要考查正方形，涉及正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识解答．