Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点 H，且tan∠AHO=2．点N（a，1）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，若点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，则点P的坐标为________．

Answer 1

（，0）
分析：先由y=2x+2确定A点坐标为（0，2），再利用正切的定义由tan∠AHO==2可计算出OH=1，则可确定M点坐标为（1，4），接着利用待定系数法得到反比例函数解析式为y=，于是把N（a，4）代入y=得a=1，则N点坐标为（4，1）；作M点关于x轴的对称点M′，则M′的坐标为（1，-4），由于点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，则点P为直线NM′与x轴的交点，然后利用待定系数法确定直线NM′的解析式为y=x-，最后根据x轴上的坐标特点可确定P点坐标．
解答：把x=0代入y=2x+2得y=2，则A点坐标为（0，2），
在Rt△AOH中，OA=2，tan∠AHO==2，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得y=4，
∴M点坐标为（1，4），
把M（1，4）代入y=得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=，
把N（a，4）代入y=得4a=4，解得a=1，
∴N点坐标为（4，1），
作M点关于x轴的对称点M′，如图，则M′的坐标为（1，-4），
∵点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，
∴点P为直线NM′与x轴的交点，
设直线NM′的解析式为y=mx+n，
把M′（1，-4）、N（4，1）代入得，
解得，
∴直线NM′的解析式为y=x-，
把y=0代入得x-=0，解得x=，
∴P点坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式和锐角三角形函数的定义；熟练运用两点之间线段最短解决几何中关于距离最小的问题．