Question

12．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于M，AE⊥BD于E，交CD于N，连AC．
（1）求证：AC=AN
（2）若OM：OC=3：5，AB=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出∠BDC=∠EAB=∠BAC，再由ASA定理得出△AMN≌△AMC，进而可得出结论；
（2）连接OA，设OM=3x，OC=5x，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．

解答 解：（1）连接AC，
∵∠AED=∠AMO=90°，
∴∠BDC=∠EAB=∠BAC．
∵AM⊥OC，
∴∠AMC=∠AMN．
在△AMN与△AMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠BAC}\\{AM=AM}\\{∠AMN=∠AMC}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC=AN；

（2）连接OA，设OM=3x，OC=5x，
∴OA=5x，AM=4x，
∵AB=5，
∴4x=$\frac{5}{2}$，x=$\frac{5}{8}$，
∴r=5x=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．