Question

如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点．
（1）求∠AME；
（2）求证：AM=MN；
（3）连FG，问FG与BE的位置关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）易证∠ABO+∠BAO=45°，即可解题；
（2）易证∠ABM=∠NBM，即可证明△ABM≌△NBM，可得AM=MN；
（3）连接FG，易证∠FAO=∠BNM，即可证明△NFM≌△AGM，可得FM=MG，即可求得∠MFG=45°=∠AME，即可证明FG∥BE．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠AMB=180°-

1

2

（∠ABO+∠BAO）=135°，
∴∠AME=45°；
（2）∵MN⊥AM，∠AME=45°，
∴∠NME=45°，
∴∠AMB=∠NMB=135°，
∵BE是∠ABO角平分线，
∴∠ABM=∠NBM，
在△ABM和△NBM中，

∠AMB=∠NMB BM=BM ∠ABM=∠NBM

，
∴△ABM≌△NBM（ASA），
∴AM=MN；
（3）连接FG，

∵△ABM≌△NBM，∴∠BNM=∠BAM，
∵∠BAM=∠FAO，∴∠FAO=∠BNM，
在△NFM和△AGM中，

∠FAO=∠BNM AM=MN ∠AMG=∠NMF=90°

，
∴△NFM≌△AGM（ASA），
∴FM=MG，
∴∠MFG=45°=∠AME，
∴FG∥BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABM≌△NBM和△NFM≌△AGM是解题的关键．