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如图①,抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B,交y轴于C,抛物线的顶点D的横坐标为4,OA•OC=OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图②,若P为抛物线上一动点,PQ∥y轴交直线l:y=
34
x
+9于点Q,以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上,问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小?若存在,求其最小值;若不存在,请说明理由
(3)如图③,将直线向下平移m个单位(m>9),设平移后的直线交抛物线于M、N两点(点M在点N左边),M关于原点的对称点为M′,连接M′N,问M′N在x轴上的正投影是否为定值?若为定值,求其值;若不是定值,请说明理由.
分析:(1)根据抛物线求出点C的坐标为(0,5),从而得到OC的长度是5,然后得到点B的横坐标是点A的横坐标的5倍,再根据顶点的横坐标列式求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)根据直线l的解析式表示出矩形的长与宽与PQ的关系,然后表示出矩形的面积,再根据直线与抛物线的解析式表示出PQ,然后根据二次函数的最值问题求出PQ,再代入进行计算即可得解;
(3)先表示出M′N在x轴上的正投影,再根据向下平移纵坐标减表示出平移后的直线解析式,然后与抛物线联立,消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数用点M的坐标表示出点M′的横坐标,然后根据正投影的定义,表示出点M′N的横坐标的差值即可得解.
解答:解:(1)令x=0,则y=5,
所以,点C的坐标为(0,5),OC=5,
∵OA•OC=OB,
∴5OA=OB,
∴-5xA=xB,①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4,
xA+xB
2
=4,②
①、②联立解得,xA=-2,xB=10,
∴点A(-2,0),B(10,0),
∵抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B,
4a-2b+5=0
100a+10b+5=0

解得
a=-
1
4
b=2

所以,抛物线解析式为y=-
1
4
x2+2x+5;

(2)∵以PQ为对角线的矩形的一边在直线l:y=
3
4
x+9上,
32+42
=5,
∴矩形的长、宽分别为
4
5
PQ,
3
5
PQ,
∴矩形的面积为
4
5
PQ•
3
5
PQ=
12
25
PQ2
∵点P在抛物线y=-
1
4
x2+2x+5上,点Q在直线y=
3
4
x+9上,
∴PQ=xQ-xP=
3
4
x+9-(-
1
4
x2+2x+5)=
1
4
x2-
5
4
x+4=
1
4
(x2-5x+
25
4
)-
25
16
+4=
1
4
(x-
5
2
2+
39
16

∴当x=
5
2
时,PQ有最小值为
39
16

故矩形面积的最小值为
12
25
×(
39
16
2=
4563
1600


(3)是定值5.
理由如下:设M′N在x轴上的正投影为EF,则EF等于点N的横坐标减去点M′的横坐标,
∵直线y=
3
4
x+9向下平移m个单位,
∴平移后的直线解析式为y=
3
4
x+9-m,
联立
y=
3
4
x+9-m
y=-
1
4
x
2
+2x+5

消掉y得,
1
4
x2-
5
4
x+4-m=0,
∵点M与点M′关于原点对称,
∴点M′的横坐标与点M的横坐标互为相反数,
∴EF=-
-
5
4
1
4
=5,是定值.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,矩形的面积,二次函数的最值问题,联立两函数解析式求交点,根与系数的关系,综合性较强,(1)求出点A、B的关系式,(2)根据直线用PQ表示出矩形的长与宽,(3)根据点M、M′的横坐标的关系利用根与系数的关系判断是解题的关键.
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12
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3
),求经过A、B、C三点抛物线的解析式;
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1
2
x2+bx+c
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1
2
x2
平移后经过原点O和点A(6,0),平移后的抛物线的顶点为点B,对称轴与抛物线y=-
1
2
x2
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