Question

18．如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE，延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为$\frac{1}{2}$；③∠AEF=60°；④图中只有三对三角形全等；⑤DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．其中正确的个数是（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①据正方形的性质得出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可判断①正确；
②过F作FH⊥BC于H，先求出∠FBH=30°，再根据直角三角形的性质求出FH，即可判断②正确；
③由∠BAE=15°，∠ABD=45°，根据三角形内角和定理得∠AEB=120°，所以∠BEC=120°，根据邻补角定义得∠BEF=60°，所以∠AEF=60°，即可判断③正确；
④因为四边形ABCD是正方形，点E在对角线BD上，根据图形的轴对称性，易得△ABE≌△CBE，△ADE≌△CDE，△BAD≌△BCD，即可判断④正确；
⑤过A作AM⊥BD交于M，运用勾股定理计算出DM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在直角△AEM中∠AEM=60°，AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以EM=$\frac{AM}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，所以DE=DM+EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$，即可判断⑤错误；

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD=45°}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，（SAS）
∴AE=CE，
∴①正确；
②过F作FH⊥BC于H．
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=15°．
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴②正确；
③∵∠BAE=15°，∠ABE=45°，
∴∠AEB=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠BEF=60°，
∴∠AEF=60°，
故③正确；
④∵四边形ABCD是正方形，点E在对角线BD上，根据图形的轴对称性，易得△ABE≌△CBE，△ADE≌△CDE，△BAD≌△BCD，故④正确；
⑤过A作AM⊥BD交于M．
在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，
在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，
∴DM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EM=$\frac{AM}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴DE=DM+EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故⑤错误．
故选B．

点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．