Question

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，三角形FCG的面积=y，求与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）当△CGF是直角三角形时，求x和y值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）要求CF的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF；
（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．

解答：解：（1）（1）作FM⊥CD于M，

可证△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴AE=DH=GM=6-2=4，
DG=AH=MF=2，
∴MC=CD-DG-GM=8-2-4=2，
∴FC=

MF2+MC2

=2

2

，
∴△FCG的面积=

1

2

×6×2=6；
（2）∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

GH

AE

，即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

，
∴y=△FCG的面积=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∵

8- 8 x ＞0 x≤8

，
∴1＜x≤8，
∴当x=8时，y的最大值为7；
（3）当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
对应的y=4+2

2

或4-2

2

．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能．
故x=2，y=4；x=6，y=

20

3

；x=4+2

2

，y=4+2

2

；x=4-2

2

，y=4-2

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质定理等知识点．综合性强，有一定难度．