Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．

Answer 1

解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°．
∵∠B=60°，
∴∠ACB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°．
∴在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=，∠ADE=60°．
∵∠ADC=105°，
∴∠EDC=45°．
∴在Rt△CDE中，CE=DE=3．
∴AC=AE+CE=．
∴在Rt△ABC中，tan∠B=，
∴AB=AC÷=3+．
分析：由于∠B=60°，AC⊥AB可以得到∠BCA=90°-60°=30°，又由AD∥BC可以推出∠DAC=∠BCA，然后即可得到∠DCE的度数．再根据直角三角形的性质求出AC，最后利用三角函数求出AB长．
点评：本题考查的是解直角三角形，题目中告诉的是一条直角边和斜边，用勾股定理可以求出另一条直角边．得到是一等腰直角三角形，然后确定两个直角的度数．