Question

关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）已知关于x的方程x²-（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．

Answer 1

解：（1）依题意得△=（k+2）²-4k•＞0，
解之得k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1，且k≠0；

（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k+2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，
即（k+1）²-2（k+2）=6，
解得：k=±3，
当k=3时，△=16-4×5＜0，
∴k=3（舍去）；
当k=-3时，△=4-4×（-1）＞0，
∴k=-3．
分析：（1）由于关于x的方程有两个不相等的实数根，那么可以得到k≠0，并且方程的判别式大于0，由此即可确定k的取值范围；
（2）首先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，然后把两个实数根的平方和变换两根之和与两根之积相关的形式，由此即可得到关于k的方程，解方程就可以求出k的值．
点评：此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系，综合性比较强．第一小题通过利用一元二次方程根的情况与判别式△的关系得到关于k的不等式解决问题；第二小题通过利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程解决问题．