Question

如图，一次函数y=-

2

3

x+2的图象分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，则斜边BC所在直线的解析式为（　　）

• A、y=

  1

  4

  x+2
• B、y=

  1

  3

  x+2
• C、y=

  1

  5

  x+2
• D、y=

  1

  6

  x+2

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数解析式,等腰直角三角形

专题：

分析：先求得A、B点的坐标，进而求得OA、OB的长，作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，AD=OB，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答：解：一次函数y=-

2

3

x+2中，
令y=0，解得x=3．                            
则点A的坐标是（3，0）．
令x=0得y=2． 
则点B的坐标是（0，2）．                      
作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO与△CAD中，

∠ACD=∠BAO  ∠BOA=∠CDA=90°   AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
则点C的坐标是（5，3）．                       
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

b=2 5k+b=3

，
解得：

k= 1 5 b=2

．，
则直线BC的解析式是：y=

1

5

x+2．
故应选C．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．