Question

如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．
（1）求A′点的坐标；______
（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；______
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点A'作A'D垂直于x轴，垂足为D，
则四边形OB'A'D为矩形．
在△A'DO中，A'D=OA'•sin∠A′OD=4×sin60°=2，OD=A'B'=AB=2，
∴点A'的坐标为（2，2）．

（2）∵C（0，4）在抛物线上，∴c=4，
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A′（2，2）在抛物线y=ax²+bx+4上，
∴解之得：．
∴所求解析式为．

（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C（0，4）为满足条件的点．
②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），经计算知；此两点不在抛物线上．
③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），经计算知；此两点也不在抛物线上．
综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．
分析：（1）首先要过点A'作A'D垂直于x轴，垂足为D，然后在直角△A′OD中通过解直角三角形可求出点A′的坐标．
（2）已知了C，A'，A三点的坐标，可用待定系数法求出二次函数的解析式．
（3）由于等腰三角形的腰和底不确定，因此要分情况讨论．
点评：本题综合考查了函数的图象在实际问题中的应用，较难，学生要根据题意仔细认真分析．