Question

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=1，O为AC中点，OE⊥OD交AB于E，EF⊥CD于F，交AC于M，BO延长线交DC于G，则下列结论：①EO=DO；②OM=OG；③BC=2AD；④四边形AEOD的面积为．其中正确的结论是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①③④

Answer 1

C
分析：根据题意画出适当的图形，结合全等三角形的判定和性质，不难解出．
解答：解：∵△ABC中AB=BC，O为AC中点，且∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，BO为△ABC斜边上的中垂线，BO=AO=OC，
且∠BAC=∠ACB=∠ABG=∠GBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ABG．
四边形ADOE中，DA⊥AB，OD⊥OE，那么∠ADO=180°-∠AEO=∠BEO，
又由BO=AO，那么根据BO=AO，∠ADO=∠BEO，∠DAC=∠ABG，
可得出△BEO≌△ADO，因此EO=DO，∠AOD=∠BOE；
∵BO⊥OC（BO为△ABC斜边上的中垂线），那么∠DOG=90°-∠AOD=90°-∠BOE=∠EOM，
如果设OD与EF交于N，
在直角△DFN和直角△BON中，
∵OD⊥OE，EF⊥CD，
∴∠MEO=90°-∠ENO=90°-∠DNF=∠NDF，
因此由∠MEO=∠NDF，∠DOG=∠EOM，EO=OD可得出△EMO≌△DGO，
∴OM=OG，
∵△ADO≌△BEO，
∴S_△ADO=S_△BEO，
所以S_?ADOE=S_△ADO+S_△AEO=S_△AOB=S_△ABC=．
因此本题中①②④是正确的．
故选C．
点评：本题本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，要记牢全等三角形的判定条件，要把对应的角和边找好．