Question

20．从圆上一点C向直径AB作垂线CD，D是垂足，以AD、DB为直径在大圆内分别作两个小圆，设这两个小圆的外公切线为EF，而E、F为切点，求证：CD=EF．

Answer 1

分析 取AD的中点O₁，BD的中点O₂，连接O₁E，O₂F，并过O₂作O₂H⊥O₁E，交O₁E于H．根据切线的性质得到O₁E⊥EF，O₂F⊥EF，推出四边形EHO₂F是矩形由矩形的性质得到EF=O₂H，根据勾股定理和射影定理即可得到结论．

解答 证明：取AD的中点O₁，BD的中点O₂，连接O₁E，O₂F，并过O₂作O₂H⊥O₁E，交O₁E于H．
∵EF是两圆的公切线，
∴O₁E⊥EF，O₂F⊥EF，
又∵O₂H⊥O₁E，
∴四边形EHO₂F是矩形
∴EF=O₂H
在Rt△O₁O₂H中，O₂H²=（$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BD）²-（$\frac{1}{2}$AD-$\frac{1}{2}$BD）²=AD•BD
∵CD⊥AB
∴CD²=AD•BD
∴CD=O₂H=EF．

点评 本题考查了外切两圆的公切线的性质，以及矩形的判定和性质，还有直角三角形的判定和性质，勾股定理，射影定理，正确作出辅助线是解题的关键．