Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CD，BD=CD，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，连接DE．下列结论：
①BH=BE； ②EH=DH； ③tan∠EDB=

2

2

；④

S△ENH

S△EBH

=

EH

EC

；
 其中正确的有（　　）

A．①③④

B．②③④

C．①④

D．①②③

Answer 1

分析：首先由BD⊥CD，BD=CD，可求得∠DBC=∠DCB=45°，又由CE平分∠BCD，∠ABC=90°，根据三角形外角的性质与直角三角形的性质，即可求得∠BEH=∠BHE=67.5°，然后由等角对等边，即可求得①正确；由由等腰直角三角形的性质与角平分线的性质易证得③正确，利用排除法即可求得答案．

解答：解：∵BD⊥CD，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=45°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE=22.5°，
∴∠BHE=∠DBC+∠BCE=67.5°，∠BEC=90°-∠BCE=67.5°，
∴∠BHE=∠BEC，
∴BH=BE；
故①正确；
∵∠HED与∠HDE的大小无法确定，
故EH不一定等于EH，
故②错误；
设EH=DH=a，
过点H作HF⊥BC于点F，
∵BD⊥CD，CE平分∠BCD，
则FH=DF=a，
∴BH=

2

a，
∴BE=BH=

2

a，
∴BN=EN=a，
∴NH=BH-BN=

2

a-a，
∴DN=DH+NH=

2

a，
∴tan∠EDB=

EN

DN

=

a

2 a

=

2

2

；
故③正确；
∵EN∥CD，
∴∠CEN=∠DCE=22.5°，
∵∠BHE=67.5°，
∵∠ABD=90°-∠CBD=45°．
∴∠BEH=∠BHE=67.5°，
∴BE=BH，
∴∠ENH=180°-∠CEN-∠EHN=90°，
∴∠ENH=∠ABC，∠NEH=∠BCE=22.5°，
∴△ENH∽△CBE，
∴

NH

BE

=

EH

EC

，
∴

NH

BH

=

EH

EC

，
∵

S△ENH

S△EBH

=

NH

BH

，
∴

S△ENH

S△EBH

=

EH

EC

．
故④正确．
故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及特殊角三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．