精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图,已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)A(4,0) 、D(-2,0)、C(0,-3);(2)连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求,M (1,);(3)存在,(-2,0)或(6,6).

解析试题分析:(1)在中令,解得
∴A(4,0) 、D(-2,0).
中令,得,∴C(0,-3).
(2)连接AC,根据轴对称的性质,AC与抛物线的对称轴交点M即为所求,从而应用待定系数法求出AC的解析式,再求出抛物线的对称轴,即可求得点M的坐标.
(3)分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.
试题解析:(1)A(4,0) 、D(-2,0)、C(0,-3)
(2)如图,连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.
设直线AC的解析式为,则,解得.
∴直线AC的解析式为.
的对称轴是直线
把x=1代入
`∴M(1,).

(3)存在,分两种情况:
①如图,当BC为梯形的底边时,点P与D重合时,四边形ADCB是梯形,此时点P为(-2,0).

②如图,当BC为梯形的腰时,过点C作CP//AB,与抛物线交于点P,
∵点C,B关于抛物线对称,∴B(2,-3)
设直线AB的解析式为,则,解得.
∴直线AB的解析式为.
∵CP//AB,∴可设直线CP的解析式为.
∵点C在直线CP上,∴.
∴直线CP的解析式为.
联立,解得
∴P(6,6).

综上所述,在抛物线上存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,6).
考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.轴对称的应用(最短线路问题);5.二次函数的性质;6.梯形存在性问题;7.分类思想的应用.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A.
(1)求该抛物线的解析式和A点坐标;
(2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形,求点D坐标;
(3)若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点,经过点M的直线MN与y轴交于点N,是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等?若存在,请求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知抛物线为常数,且)与轴从左至右依次交于A,B两点,与轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止. 当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图1,在等腰△ABC中,底边BC=8,高AD=2,一动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BC向右运动,到达D点停止;另一动点P从距离B点1个单位的位置出发,以相同的速度沿BC向右运动,到达DC中点停止;已知P、Q同时出发,以PQ为边作正方形PQMN,使正方形PQMN和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当点N落在AB边上时,t的值为   ,当点N落在AC边上时,t的值为   
(2)设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S,求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围;
(3)(本小题选做题,做对得5分,但全卷不超过150分)
如图2,分别取AB、AC的中点E、F,连接ED、FD,当点P、Q开始运动时,点G从BE中点出发,以每秒 个单位的速度沿折线BE-ED-DF向F点运动,到达F点停止运动.请问在点P的整个运动过程中,点G可能与PN边的中点重合吗?如果可能,请直接写出t的值或取值范围;若不可能,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,移动时间为t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC?
②设,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如果一条抛物线轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是       三角形;
(2)如图,△OAB是抛物线的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若以点E为圆心,r为半径的圆与线段AD只有一个公共点,求出r的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”,已知点C的坐标为(0,-),点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限内是否存在一点P,使得∆PBC的面积最大?若存在,求出∆PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当∆BDM为直角三角形时,请直接写出m的值.(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点间的距离为MN=.

查看答案和解析>>

同步练习册答案