Question

10．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4，∠D=∠C=60°，E是AD中点，
（1）在图1 中，当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；
（2）在图1中，当∠EBC=90°时，求边AB的长；
（3）在图2中，设AB=x，△BEC的面积是y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点A、B分别作DC上的高线AM、BN，垂足分别是M、N，通过解直角△ADM得到DM、AM的长度，从而推知CD=3DM=3AB，所以根据梯形的面积公式进行解答；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推知AE=AB；
（3）根据S_梯形ABCD-S_△ABE-S_△DEC=S_△BEC进行解答．

解答 解：（1）如图1，过点A、B分别作DC上的高线AM、BN，垂足分别是M、N，则∠AMD=90°．
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4，∠D=∠C=60°，
∴AB=MN、DM=CN，
∵AD=BC=4，∠D=60°，
∴AM=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$，DM=ADcos60°=2，
又∵AB：CD=1：3，
∴CD=3DM=6，AB=2，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•AM=$\frac{1}{2}$（2+6）×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；

（2）如图1，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC+∠C=180°，∠BAD+∠D=180°，
又∠D=∠C=60°，
∴∠ABC=∠BAD=120°．
又∠EBC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴∠AEB=180°-120°-30°=30°，即∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE．
∵AD=4，E是AD中点，
∴AB=AE=$\frac{1}{2}$AD=2，即AB=2；

（3）如图2，过点A、B分别作DC上的高线AM、BN，垂足分别是M、N，过点E作直线GH⊥AB，交直线AB于点G，交直线CD于点H，则GH=AM．
由（1）知，AM=2$\sqrt{3}$，DM=CN=2，
则CD=4+x．
∵E是AD中点，
∴GE=EH=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{3}$，
故S_△BEC=S_梯形ABCD-S_△ABE-S_△DEC，
即y=$\frac{1}{2}$（x+4+x）×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$x•GE-$\frac{1}{2}$（x+4）•EH
=$\sqrt{3}$（2x+4）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+4）
=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
即y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了四边形综合题．需要学生掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的面积公式和梯形的面积公式，综合性比较强．解答（3）题时，利用了“分割法”求得△BEC的面积．