Question

（2005•无锡）如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值，最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S_△PEF=S_{平行四边形PEQF}，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值．
（3）△ADQ中，AD长为定值，因此要使△ADQ的周长最小，AQ+QD需最小，可根据轴对称图形的性质和两点间线段最短为依据来确定Q点的位置．
解答：（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）解：同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴=，=，
∵S_△AQD=AD×AB=×3×2=3，
得S_△PEF=S_{平行四边形PEQF}
=（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=×[3-×3-×3]
=（-x²+2x）
=-x²+x
=-（x-）²+．
∴当x=，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值．

（3）解：作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．