如图一.在△ABC中.分别以AB.AC为直径在△ABC外作半圆和半圆.其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点.点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. 小题1:连结.证明:,小题2:如图二.过点A分别作半圆和半圆的切线.交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q.连结PQ.若∠ACB=90°,DB=5.CE=3.求线段PQ的长;小题3:如图三.过点A作半圆的切线.交CE的延长线于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆

和半圆

，其中

和

分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
小题1:连结

，证明：

；

小题2:如图二，过点A分别作半圆

和半圆

的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

小题3:如图三，过点A作半圆

的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆

的切线.

小题1:

∴∠DF=∠FE.
∴.
小题2:
解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆

圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC =45°，AC=

，
∵AQ是半圆的切线，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

小题3:
（3）证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，
连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点，∴.
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5="∠8," ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB,又AB是半圆

直径，

即

.
∵

,
∴ 过点Q有两条不同的直线

和

同时与AF垂直.
这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.
所以PA是是半圆

的切线.

略

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