Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且点D的坐标为（-2，4），DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）求点B的坐标；
（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（3）若AC=2CM，求直线CD的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据点D的坐标为（-2，4），求出OA的长，进而可得出B点坐标；
（2）通过证明三角形AOD和DOM全等来求解．已知的条件有OA=OM，一条公共边OD，只要证明出两组对应边的夹角相等即可，可通过OD∥MB，OM=OB来证得．
（3）先根据D点坐标求出AD的长，由切线的性质得出DM的长，在Rt△ADC中，AD的长已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根据勾股定理和MC，AC的比例关系求出MC的长．也就求出了M的坐标．有了M和D的坐标可以用待定系数法求出DC所在直线的函数解析式．

解答：（1）解：∵直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且点D的坐标为（-2，4），
∴OA=2，
∴OB=OA=2，
∴B（2，0）；

（2）答：直线DC与⊙O相切于点M．
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO与△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO（SAS）．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（3）答：相切．
证明如下：∵D（-2，4），FA⊥x轴于点A，
∴AD=4，
∵DC切⊙O于M，
∴DM=AD=4，
在Rt△ACD中，
∵CD=MC+4，AC=2CM，
∴（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=

8

3

或MC=0（不合题意，舍去）．
∴MC的长为

8

3

．
∴点C（

10

3

，0）．
设直线DC的解析式为y=kx+b．
则有

0= 10 3 k+b 4=-2k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴直线DC的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的判定与性质、勾股定理及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，难度适中．