Question

如图，抛物线y=（x-1）²+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连BC交对称轴于G点，且BG=2CG．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有两动点M、N（点M在点N的下方），且MN=6，若四边形ACMN的周长最小，试求AN+CM的长．
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使tan∠APC=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则DG∥OC，
∵BG=2CG，
∴BD：OB=BG：CG=2，
∴BD=2OD，
∴B点的横坐标是3．
将B（3，0）代入y=（x-1）²+m，
得4+m=0，解得m=-4．
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；
≈
（2）如图，将点C（0，-3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．
∵CC′∥MN，CC′=MN=6，
∴CC′NM是平行四边形，
∴C′N=CM．
∵A、B两点关于MN对称，
∴BN=AN，
∴AN+CM=BN+C′N=BC′．
∵B（3，0），C′（0，3），
∴BC′==3，
即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3；

（3）如图，在x轴正半轴上取一点D，使OD=9．
∵tan∠ADC===，tan∠APC=，
∴tan∠ADC=tan∠APC，
∴∠ADC=∠APC，
∴A、C、D、P四点共圆，
易证∠ADC=∠ACO，
∴∠ADC+∠DAC=∠ACO+∠DAC=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是直径，∠APD=90°．
设在第一象限的抛物线上存在点P（x，y），使tan∠APC=，则x＞0，y＞0．
∵AP²+PD²=AD²，A（-1，0），D（9，0），
∴（x+1）²+y²+（x-9）²+y²=10²，
化简整理，得y²=（x+1）（9-x），
∵y=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴（x+1）²（x-3）²=（x+1）（9-x），
∵x＞0，∴x+1≠0，
∴（x+1）（x-3）²=（9-x），
化简整理，得x³-x²+4x=0，
∵x（x-1）（x-4）=0，
∵x＞0，∴x=1或4，
当x=1时，y=-4＜0，不合题意舍去；
当x=4时，y=5＞0，符合题意．
故所求P点坐标为（4，5）．
分析：（1）设抛物线的对称轴交x轴于点D，则DG∥OC，根据平行线分线段成比例定理，得BD：OB=BG：CG=2，则BD=2OD，求出B点的横坐标是3，再将B（3，0）代入y=（x-1）²+m，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于AC与MN的长度都是定值，所以当四边形ACMN的周长最小时，AN+CM最小．将点C向上平移6个单位得C′，连接BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位即得到点M，则AN+CM=BC′最小，运用勾股定理即可求出BC′的长度；
（3）在x轴正半轴上取一点D，使OD=9．由正切函数的定义得tan∠ADC==tan∠APC，则∠ADC=∠APC，得到A、C、D、P四点共圆，∠ACD=90°，由圆周角定理得出AD是直径，∠APD=90°．设在第一象限的抛物线上存在点P（x，y），使tan∠APC=，则x＞0，y＞0．在△APD中，由勾股定理，得AP²+PD²=AD²，列出关于x的方程，化简整理，得y²=（x+1）（9-x），将y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）代入，整理，得x³-x²+4x=0，求出x的值，进而得到P点坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有平行线分线段成比例定理，运用待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定与性质，正切函数的定义，四点共圆的条件，勾股定理，综合性较强，有一定难度．（2）中确定点M、N的位置是关键；（3）中确定点P的位置是关键．