如图:等腰直角三角形ABC在平面直角坐标系中.点C坐标为.AC=BC.∠ACB=90°.点A.B在x轴上.BC交y轴于点D.连接AD．(1)求直线AD的解析式,(2)点M从点C出发向点B匀速运动.同时点N从点A出发向点C匀速运动.点M.N的速度都是$\sqrt{2}$单位每秒.设点M.N的运动时间为t秒.连接MN.以MN为斜边向下做等腰直角△MNE.连接DE.求线段DE的长,的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图：等腰直角三角形ABC在平面直角坐标系中，点C坐标为（-6，8），AC=BC，∠ACB=90°，点A，B在x轴上，BC交y轴于点D，连接AD．
（1）求直线AD的解析式；
（2）点M从点C出发向点B匀速运动，同时点N从点A出发向点C匀速运动，点M，N的速度都是$\sqrt{2}$单位每秒，（点M不与点B重合）设点M，N的运动时间为t秒，连接MN，以MN为斜边向下做等腰直角△MNE，连接DE，求线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，点E关于MN的对称点为点F，连接AF，DF，t为何值时，△ADF为直角三角形．

分析（1）首先过点C作CH⊥AB于点H．根据等腰Rt△ABC的性质求得A（-14，0）、B（2，0），由平行线分线段成比例求得OD=2，即D（2，0）；由一次函数图象上点的左边特征来求点D的坐标，所以由点A、D的坐标来求直线AD的解析式．
（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△ANE≌△CME，则对应边、对应角相等：AE=CE，∠NEA=∠MEC，易求∠CAE=45°，E为AB中点，OE=6，由勾股定理得DE=2$\sqrt{10}$．
（3）如图3所示；当∠AFD=90°时．先证明△ANF≌△DNF，从而得到AN=MD，即$\sqrt{2}t$=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$，可求得t=3s；如图4所示：当点F与点C重合时CN=CM=AN，故此2$\sqrt{2}$t=8$\sqrt{2}$可求得t=4；如图5所示：当∠ADF=90°，连接EF交MN于点G，过点N作NS⊥AB，垂足为S，先证明△ADO∽△DFH，可求得点F的坐标为（-$\frac{6}{7}$，8），由中点坐标公式可知点G的坐标为（-$\frac{24}{7}$，4），然后再根据求得EF、MN、AC的解析式，从而可求得点N的横坐标为x=-$\frac{1196}{161}$，然后根据t=AS可求得：t=$\frac{46}{7}$．

解答解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H．
，
∵点C坐标为（-6，8），
∴H（0，-6），OH=6，CH=8．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴线段CH是斜边AB的中线．
∴AH=BH=CH=8．
∴A（-14，0）、B（2，0）．
∵$\frac{OD}{CH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{OD}{8}$=$\frac{2}{8}$，
解得 OD=2，
∴D（0，2）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0）．则
$\left\{\begin{array}{l}{-14k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为：y=$\frac{1}{7}$x+2．
（2）如图2，连接CE．
，
∵∠NCM+∠NEM=180°，
∴N、E、M、C四点共圆．
∴∠ANE=∠CME．
在△ANE和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CM}\\{∠ANE=∠CME}\\{NE=ME}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△CME．
∴∠NEA=∠MEC，∠MCE=∠NAE=45°．
∴∠ACE=45°，∠AEC=90°．
∴∠CAE=45°．
∴点E在x轴上．
∴点E的坐标为（-6，0）
在Rt△EOD中，由勾股得DE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
（3）如图3所示；当∠AFD=90°时．

∵∠NFM=∠NCM，
∴点M、N、F、C共圆．
∴∠FNC=∠FMC．
∴∠ANF=∠DMF．
∵∠AFN+∠NFD=90°，∠NFD+∠DFM=90°，
∴∠AFN=∠DFM．
在△ANF和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANF=∠DMF}\\{NF=MF}\\{∠AFN=∠DFM}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△DNF．
∴AN=MD，即$\sqrt{2}t$=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$．
解得：t=3．
如图4所示：当点F与点C重合时．

∵∵点F与点E关于MN对称，
∴△FMN等腰直角三角形．
∴CN=CM=AN．
∴2$\sqrt{2}$t=8$\sqrt{2}$．
∴t=4．
如图5所示：当∠ADF=90°，连接EF交MN于点G，过点N作NS⊥AB，垂足为S．

∵∠ADF=90°，
∴∠ADO+∠FDH=90°．
又∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠DAO=∠FDH．
又∵∠AOD=∠DHF，
∴△ADO∽△DFH．
∴$\frac{FH}{OD}=\frac{DH}{AO}$即$\frac{FH}{2}=\frac{6}{14}$．
解得：FH=$\frac{6}{7}$．
∴点F的坐标为（-$\frac{6}{7}$，8）．
由中点坐标公式可知点G的坐标为（-$\frac{24}{7}$，4）．
设直线EF的解析式为y=kx+b，将E（-6，0）、F（-$\frac{6}{7}$，8）代入解得：k=$\frac{14}{9}$．
∵MN⊥EF，
∴直线MN的一次项系数k=-$\frac{9}{14}$．
设直线MN的解析式为y=-$\frac{9}{14}$x+b，将点G（-$\frac{24}{7}$，4）代入得：b=$\frac{88}{49}$．
∴直线MN的解析式为y=$-\frac{9}{14}x+\frac{88}{49}$．
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁，将A（-14，0）、C（-6，8），代入得：-$\left\{\begin{array}{l}{-14{k}_{1}+b=0}\\{-6{k}_{1}+b=8}\end{array}\right.$，
解得：k₁=1，b₁=14．
∴直线AC的解析式为y=x+14．
将y=x+14与y=$-\frac{9}{14}x+\frac{88}{49}$联立解得：x=-$\frac{1196}{161}$．
∴t=AS=-$\frac{1196}{161}$+14=$\frac{46}{7}$．
综上所述，当t=3s或t=4s或t=$\frac{46}{7}$s时，△ADF为直角三角形．

点评本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、待定系数法求函数的解析式，利用相似三角形的性质求得点F的坐标是解答本题的关键．

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