Question

18．探索规律并填空
1+2=$\frac{2×（1+2）}{2}$；
1+2+3=$\frac{3×（1+3）}{2}$；
1+2+3+4=$\frac{4×（1+4）}{2}$；
1+2+3…+20=210；
1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
用火柴棒按下面的方式搭图形填写表

图形编号	①	②	③	④
大三角形周长的火柴棒根数	3	6	9	12
小三角形个数	1	4	9	16

照规律搭下去：
（1）第n个图形的大三角形周长的火柴棒是几根？
（2）第n个图形的小三角形个数有几个？第200个图形的小三角形个数有几个？

Answer 1

分析 （1）连续整数的和等于首尾两数的和乘以数字的个数的一半，据此可得；图形中，大三角形周长的火柴棒根数为序数的3倍，小三角形的个数是序数的平方，据此可完善表格，解决问题；
（2）根据（1）中所得规律解答即可．

解答 解：（1）1+2+3+…+20=$\frac{20×（1+20）}{2}$=210，1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，

图形编号	①	②	③	④
大三角形周长的火柴棒根数	3	6	9	12
小三角形个数	1	4	9	16

∴第n个图形的大三角形周长的火柴棒是3n根；
故答案为：210、$\frac{n（n+1）}{2}$；

（2）由（1）中表格可知，第n个图形的小三角形个数有n²个，第200个图形的小三角形个数有200²=40000个．

点评 此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．