Question

已知△ABC中三边长分别为a，b，c，相应边上的中线长为m_a，m_b，m_c．
求证：bc-

a2

4

≤

m

2 a

≤bc+

a2

4

．

Answer 1

分析：根据勾股定理找到a、b、c与m_a²的关系，即b2+c2=2

m

2 a

+

1

2

a2，整理可得m_a²的不等式，可以证明

m

2 a

＜bc+

a2

4

，得
bc-

a2

4

＜

m

2 a

＜bc+

a2

4

．

解答：证明：利用勾股定理可以证明b2+c2=2

m

2 a

+

1

2

a2，
∴

m

2 a

=

b2+c2

2

-

a2

4

=

(b-c)2

2

+bc-

a2

4

≥bc-

a2

4

，
又

m

2 a

=

b2+c2

2

-

a2

4

，

= b2+c2-a2 2 + a2 4 = 2bc+(b-c)2-a2 2 + a2 4 =bc+ (b-c+a)(b-c-a) 2 + a2 4

，
∵b-c-a=b-（a+c）＜0，
b-c+a=（a+b）-c＞0，
∴

m

2 a

＜bc+

a2

4

，
∴bc-

a2

4

＜

m

2 a

＜bc+

a2

4

．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，本题中正确的运用勾股定理并且根据不等式求出

m

2 a

＜bc+

a2

4

是解题的关键．