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【题目】如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连结AG.

(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;

(2)若正方形ABCD的边长为1,AGF=105°,求线段BG的长.

【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)

【解析】

试题分析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在RtGFC中,利用勾股定理即可证明;

(2)作BNAG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在RtABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.

试题解析:(1)结论:AG2=GE2+GF2

理由:连接CG.

四边形ABCD是正方形,

A、C关于对角线BD对称,

点G在BD上,

GA=GC,

GEDC于点E,GFBC于点F,

∴∠GEC=ECF=CFG=90°,

四边形EGFC是矩形,

CF=GE,

在RtGFC中,CG2=GF2+CF2

AG2=GF2+GE2

(2)作BNAG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.

∵∠AGF=105°,FBG=FGB=ABG=45°,

∴∠AGB=60°,GBN=30°,ABM=MAB=15°,

∴∠AMN=30°,

AM=BM=2x,MN=x,

在RtABN中,AB2=AN2+BN2

1=x2+(2x+x)2

解得x=

BN=

BG=BN÷cos30°=

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