Question

11．如图所示，抛物线y=x²-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求线段AC的长；
（2）求tan∠CBA的值；
（3）如果有动点P以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿BC前进（不到达点C），问前进多少秒后得到的△OPB与△COB相似．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0和y=0求得A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3），据此可以求得AC的长；
（2）线段OC的长除以线段OB的长即为tan∠CBA的值；
（3）设前进t秒后得到的△OPB与△COB相似，由于OC=OB，∠COB=90°，得到△COB是等腰直角三角形，由于△OPB与△COB相似，于是得到△OPB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到OB=$\sqrt{2}$PB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t=3，求得结果．

解答 解：（1）令y=x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0），
令x=0得y=3，
∴C点的坐标为（0，3），
∴AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）∵A点的坐标为（1，0），C点的坐标为（0，3），
∴OA=3，OC=3
∴tan∠CBA=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{3}$=1；

（3）设前进t秒后得到的△OPB与△COB相似，
∵OC=OB，∠COB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形，
∵△OPB与△COB相似，
∴△OPB是等腰直角三角形，
∵∠OBC=∠OBP=45°，
∵点P以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿BC前进（不到达点C），
∴∠OPB=90°，
∴OB=$\sqrt{2}$PB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴点P前进$\frac{3}{2}$秒后得到的△OPB与△COB相似．

点评 本题考查了二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形性质和判定，知道△OPB与△COB是等腰直角三角形是解题的关键．