已知二次函数y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x2+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$的图象与x轴.y轴交于点A.B.一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点.并与x轴交于点C.若点D在x轴上.且∠BCD=∠ABD.则图象经过B.D两点的一次函数解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知二次函数y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$的图象与x轴、y轴交于点A、B，一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点，并与x轴交于点C，若点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，则图象经过B、D两点的一次函数解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$或y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$．

分析首先求出点A、点B和点C的坐标，然后设点D点坐标为（a，0），利用∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB证明△BCD∽△ABD，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，列出a的方程，求出a的值，进而得到D点的坐标，于是求出过B、D两点的一次函数解析式．

解答解：根据题意画图如右：
令y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$=0，
解得x=-3，
即点A坐标为（-3，0），
令x=0，y=$\sqrt{2}$，
即点B坐标（0，$\sqrt{2}$），
∵一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴C点坐标为（1，0），
设点D点坐标为（a，0），
∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+2}}{a+3}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$，
∴a=$\frac{5}{2}$或a=-$\frac{1}{4}$，
∴点D坐标为（$\frac{5}{2}$，0）或（-$\frac{1}{4}$，0），
设直线BD的解析式为y=kx+$\sqrt{2}$，
当点D坐标为（$\frac{5}{2}$，0）时，
k=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
直线BD的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$；
当点D坐标为（-$\frac{1}{4}$，0），
k=4$\sqrt{2}$，
直线BD的解析式为y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$，
故答案为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$或y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$．

点评本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是由△BCD∽△ABD得到点D的坐标，此题有一定的难度．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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（Ⅰ）求线段BC的长；
（Ⅱ）如图①，连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
（Ⅲ）如图②，在（Ⅱ）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当PF=t时，直接写出QG的长（不需写出解题过程）．