Question

10．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在直线上的C′处，得到经过点D的折痕DE．则$\frac{CE}{BE}$=$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 如图，连接BD；首先证明∠C′DF=30°，∠C′=60°，进而得到∠DFC′=90°，此为解题的关键性结论；求出DF，进而求出BF；证明∠BEF=30°，得到BE=2BF，此为解题的又一关键性结论；求出CE，即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD，交C′E于点F；
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，AB=AD；而∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°；
∴AD=BD，而AP=BP，
∴DP⊥AB，∠ADP=30°，
∴∠PDC=120°-30°=90°；
由题意得：∠C′DE=∠CDE=45°，
∠ADB=∠C′DB=60°，∠C′=∠C；
∴∠C′DF=90°-60°=30°；
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A=∠C，AD=DC=BC（设为λ）；
∵∠C′=∠C，DC′=DC，
∴∠C′=60°，DC′=λ，
∴∠DFC′=90°，cos30°=$\frac{DF}{DC′}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，BF=λ（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
在△DCE中，
∵∠DEC=180°-45°-60°=75°，
∴∠DEC′=∠DEC=75°，
∴∠BEF=180°-2×75°=30°，
∴BE=2BF=2λ-$\sqrt{3}$λ，
∴CE=λ-$（2λ-\sqrt{3}λ）$
=（$\sqrt{3}-1$）λ，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{（\sqrt{3}-1）λ}{（2-\sqrt{3}）λ}=\sqrt{3}+1$，
故答案为$\sqrt{3}$+1．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等腰三角形等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、菱形的性质等知识点来分析、判断、解答．