Question

15．已知：如图，直线AB与x轴y轴分别交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内交于点C，BO=2AO=4，△AOC的面积为2$\sqrt{7}$+2．
（1）求点C的坐标和k的值；
（2）若点P在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，点Q在y轴上，且以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合题意的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由BO=2AO=4得到A（-2，0），B（0，4），再利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+4，设C（t，2t+4），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•（2t+4）=2$\sqrt{7}$+2，然后解方程求出t即可得到C点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值；
（2）分类讨论：分AB为平行四边形的边和对角线讨论，根据平行四边形的性质，利用点平移的坐标规律求出对应的P点和Q点坐标．

解答 解：（1）∵BO=2AO=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-2，0），B（0，4）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设C（t，2t+4）
∵△AOC的面积为2$\sqrt{7}$+2．
∴$\frac{1}{2}$•2•（2t+4）=2$\sqrt{7}$+2，解得t=$\sqrt{7}$-1，
∴C（$\sqrt{7}$-1，2$\sqrt{7}$+2），
把C（$\sqrt{7}$-1，2$\sqrt{7}$+2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=（$\sqrt{7}$-1）（2$\sqrt{7}$+2）=12；
（2）当平行四边形为AQPB时，把A点向右平移2个单位得到Q₁点，则B点向右平移2个单位得到P₁点，所以P₁（2，6），即B点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P₁点，所以A点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点Q₁（0，2）；
当平行四边形为APQB时，则P₂（-2，-6），即点A向下平移6个单位得到点P₂，则B点向下平移6个单位得到点Q₂（0，-2）；
当平行四边形为APBQ时，则P₂（-2，-6），即点A向下平移6个单位得到点P₂，则B点向上平移6个单位得到点Q₃（0，10）；
综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，2）、（0，-2）、（0，10）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．