Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．
试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

解：FD=FE，
证明：过点D作DN⊥AB于N，连接NE．
∵DA=DB，DN⊥AB，
∴BN=AN，
过N作NE⊥AC，于点G，连接EG，
∴∠NGA=90°，
∵∠BCA=90°，
∴NG∥BC，
∵BN=AN，
∴CG=GA，
∵CE=AE，
∴EG⊥AC，
∴N、G、E在一条直线上，
∵DA⊥CA，NE⊥AC，
∴NE∥AD，
又∵DN⊥AB，EA⊥BA，
∴DN∥EA，
∴四边形DNEA是平行四边形，
∴DF=EF（平行四边形对角线互相平分）．
分析：本题的解题思路是通过利用等腰三角形的性质，构建平行四边形，再根据平行四边形的判定，证明所构建的图形是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分从而得出答案．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用．