Question

（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

5

13

．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=

12

，AC=

15

，△ABC的面积S_△ABC=

84

；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

Answer 1

分析：探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=

5

13

，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=

2S△ABD

x

，n=

2S△CBD

x

，再根据S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于

56

5

且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．

解答：解：探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=

5

13

，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

×14×12=84．
故答案为12，15，84；

拓展  （1）由三角形的面积公式，得S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

xm，S_△CBD=

1

2

BD•CF=

1

2

xn；
（2）由（1）得m=

2S△ABD

x

，n=

2S△CBD

x

，
∴m+n=

2S△ABD

x

+

2S△CBD

x

=

168

x

，
∵AC边上的高为

2S△ABC

15

=

2×84

15

=

56

5

，
∴x的取值范围是

56

5

≤x≤14．
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴当x=

56

5

时，（m+n）的最大值为15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
（3）x的求值范围是x=

56

5

或13＜x≤14．
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为

56

5

．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．