Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠EBC，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据ASA推出△BEF≌△BEC，推出CE=FE=CF，求出∠ABD=∠ACF，∠BAD=∠CAF，根据ASA推出△ABD≌△ACF，推出BD=CF即可．

解答：证明：延长BA交CE的延长线于F．
∵BE⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠EBF=∠EBC

∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴CE=FE=

1

2

CF（全等三角形对应边相等），
∵∠BAC=90°，BE⊥CF，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠BDA+∠ABD=∠EDC+∠ECA=90°
即∠ABD=∠ECA
在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∵CE=EF=

1

2

CF，
∴BD=2CE．

点评：本题考查了全等三角形性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．