【题目】如图,在正方形ABCD中,E,F分别BC,CD边上的一点,且BE=2EC,FC=DC,连接AE,AF,EF,求证:△AEF是直角三角形.
【答案】见解析.
【解析】
设FC=2a,由正方形的性质得出AB=BC=AD=CD=9a,,然后利用勾股定理分别表示出
,然后根据勾股定理的逆定理即可证明结论.
证明:设FC=2a,则DC=9a,DF=7a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD=9a, .
∵BE=2CE,
∴BE=6a,EC=3a.
在Rt△ECF中,EF2=EC2+FC2=(3a)2+(2a)2=13a2.
在Rt△ADF中,AF2=AD2+DF2=(9a)2+(7a)2=130a2.
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2=(9a)2+(6a)2=117a2.
∵13a2+117a2=130a2,
∴EF2+AE2=AF2.
∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.
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【题目】小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下:12:00时是一个两位数,数字之和为7;13:00时十位与个位数字与12:00是所看到的正好互换了;14:00时比12:00时看到的两位数中间多出一个0.如果设小明在12:00看到的数的十位数字是x,个位数字是y,根据题意可列方程组为________.
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【题目】如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧 的中点,点D是优弧
上一点,且∠D=30下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=
cm;③cos∠AOB=
;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是( )
A.①③
B.①②③④
C.①②④
D.②③④
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【题目】已知:如图,在△ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D,E为AB上一点,过点E作EF⊥BC,垂足为F,过点D作DG∥AB交AC于点G.
(1)依题意补全图形;
(2)请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系,并加以证明.
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【题目】请把下面证明过程补充完整:
已知:如图,∠ADC=∠ABC,BE、DF分别平行∠ABC、∠ADC,且∠1=∠2.
求证:∠A=∠C.
证明:因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,( ).
所以∠1=∠ABC,∠3=
∠ADC( ).
因为∠ABC=∠ADC(已知),
所以∠1=∠3( ),
因为∠1=∠2(已知),
所以∠2=∠3( ).
所以 ∥ ( ).
所以∠A+∠ =180°,∠C+∠ =180°( ).
所以∠A=∠C( ).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE
(1)求证:CE=AD
(2)当点D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明理由
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?说明理由.
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【题目】在横线上完成下面的证明,并在括号内注明理由.
已知:如图,∠ABC+∠BGD=180°,∠1=∠2.
求证:EF∥DB.
证明:∵∠ABC+∠BGD=180°,(已知)
∴ .( )
∴∠1=∠3.( )
又∵∠1=∠2,(已知)
∴ .( )
∴EF∥DB.( )
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【题目】为适应日益激烈的市场竞争要求,某工厂从2016年1月且开始限产,并对生产线进行为期5个月的升降改造,改造期间的月利润与时间成反比例;到5月底开始恢复全面生产后,工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设2016年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,其图象如图所示,试解决下列问题:
(1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后,y与x之间的函数关系式;
(2)到第几个月时,该工厂月利润才能再次达到100万元?
(3)当月利润少于50万元时,为该工厂的资金紧张期,问该工厂资金紧张期共有几个月?
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【题目】如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线.
(1)若∠B=30°,∠C=70°,则∠CAE=______°,∠DAE=______°.
(2>若∠B=40°,∠C=80°.则∠DAE=______°.
(3)通过探究,小明发现将(2)中的条件“∠B=40°,∠C=80°”改为“∠C-∠B=40°”,也求出了∠DAE的度数,请你写出小明的求解过程.
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