Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-3（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在-1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法即可解决问题．
（2）由于抛物线y=mx²-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，于是得到整数为-1，0，1，2，3，列不等式组即可得到结论；
（3）根据抛物线y=mx²-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，而在3＜x＜4位于x轴上方，得到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于x轴的上方，根据已知条件得到抛物线过点（-1，0），把（-1，0）代入y=mx²-2mx+m-3即可得到结论．

解答 解：（1）∵y=mx²-2mx+m-3=m（x-1）²-3，
∴抛物线顶点坐标（1，-3）；
（2）∵抛物线y=mx²-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为-1，0，1，2，3，
∴x=2时，y＜0；x=4时，y＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m-4m+m-3＜0}\\{16m-8m+m-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}＜m＜3$；
（3）∵抛物线y=mx²-2mx+m-3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
而在3＜x＜4位于x轴上方，
∴抛物线在-2＜x＜-1这一段位于x轴的上方，
∵在-1＜x＜0位于x轴下方，
∴抛物线过点（-1，0），
把（-1，0）代入y=mx²-2mx+m-3得m+2m+m-3=0，
解得m=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．