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(2009•张家界)在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了抛物线过A,B,C三点,可根据三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)由于CD是圆的切线,设圆心为O′,可连接O′C,在直角三角形O′CD中科根据射影定理求出OD的长,即可得出D的坐标.
(3)可假设存在这样的点E、F,设以线段EF为直径的圆的半径为|r|,那么可用半径|r|表示出E,F两点的坐标,然后根据E,F在抛物线上,将E,F的坐标代入抛物线的解析式中,可得出关于|r|的方程,如果方程无解则说明不存在这样的E,F点,如果方程有解,可用得出的r的值求出E,F两点的坐标.
解答:解:(1)令二次函数y=ax2+bx+c,


∴过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=-x2-x+2.

(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(-,0),
∴O′C=
OO′=
∵CD为⊙O′切线
∴O′C⊥CD,
∴∠O′CO+∠OCD=90°,∠CO'O+∠O'CO=90°,
∴∠CO'O=∠DCO,
∴△O'CO∽△CDO,
=,即=
∴OD=
∴D坐标为(,0).

(3)存在,
抛物线对称轴为x=-
设满足条件的圆的半径为r,则E的坐标为(-+r,|r|)或F(--r,r),
而E点在抛物线y=-x2-x+2上,
∴r=-(-+r)2-(-+r)+2;
∴r1=-1+,r2=-1-(舍去);
故以EF为直径的圆,恰好与x轴相切,该圆的半径为
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、切线的性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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