Question

已知正整数a、b、c满足不等式2a²+b²+c²+10＜2ab+2b+6c，则abc=

 

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Answer 1

分析：我们先看如下事实：3＜5，4＜5，3+1＜5，4+1≤5；本题由于a、b、c均为正整数，且有2a²+b²+c²+10＜2ab+2b+6c成立，则式子左右两边必有正整数，仅当左边比右边小1时，本题才有解，因此左边式子加1有可能与右边的式子相等，利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0，求出a，b，c的值，即可确定出abc的值．

解答：解：根据题意得：2a²+b²+c²+10+1≤2ab+2b+6c，
整理得：2a²+b²+c²+11-2ab-2b-6c≤0，
两边乘以2得：4a²+2b²+2c²-4ab-4b-12c+22≤0，
变形得：（2a-b）²+（b-2）²+2（c-3）²≤0
∴b=2，c=3，a=1，
则abc=6．
故答案为：6

点评：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．