Question

如图，矩形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=y，把它折叠起来，使顶点A与C重合，则折痕PQ的长度为（　　）

• A、

  y

  x

  x2+y2

• B、

  x

  y

  x2+y2

• C、

  y

  x

  2x2+y2

• D、

  x

  y

  x2+2y2

Answer 1

分析：由翻折可得到QP垂直平分AC，那么AQ=QC，易证△APO≌△CQO，再利用勾股定理求出AP的长，进而利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出PQ的长即可．

解答：解：∵A，C两点关于PQ对称，所以AO=CO，
∵AC⊥QP，从而∠AOP=∠QOC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠APQ=∠PQC．
∴△APO≌△CQO，
∴CQ=AP，
由PQ⊥AC且平分AC，可知AQ=CQ．
∴四边形AQCP是菱形，
设AP=a，则AQ=a，DQ=x-a，
在Rt△ADQ中，利用勾股定理可知：a²=y²+（x-a）²，
∴整理得：2ax=x²+y²，
解得a=

x2+y2

2x

，
菱形AQCP的面积为：

1

2

PQ•AC=CQ•AD，
∴

1

2

PQ×

x2+y2

=

x2+y2

2x

×y，
整理得：PQ×

x2+y2

=

x2+y2

x

×y，
解得：PQ=

y

x

x2+y2

．
故选：A．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质和矩形的性质以及菱形的判定与性质等知识，遇到折叠变换问题注意找出翻折的边得出对应相等，再利用勾股定理求出，这是此类问题常用解题思路．