Question

已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=2，CE=1，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，CB⊥AB，
∴AM=BM，OD∥BC
∴AD=DC．

（2）连接O、B两点
∵⊙O的切线交BC于E，
∴OD⊥DE，
又∵OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∵OD∥BC，OD⊥DE
∴四边形MDEB为矩形，
∵AD=DC，EC=1，DE=2，
∴EC=BE=MD=1，DE=MB=2，
∴在Rt△BOM中，OB²=OM²+MB²=（OB-MD）²+MB²，即OB²=（OB-1）²+2²，
∴OB=2.5
∴⊙O的半径为2.5．
分析：（1）欲求AD=DC，已知条件中可以推出两组平行线，根据平行线等分线段定理可以推出结论．
（2）连接O、D两点，构建直角三角形OBD，根据平行线等分线段定理、矩形DEBM求出MB、DE的长度，根据勾股定理，求出半径OB．
点评：本题考查了圆的切线性质，解直角三角形的有关知识点以及平行线的性质．运用切线的性质、垂径定理来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．