Question

如图，△ABC是等边三角形，EG∥BC，DE=DB．EF∥DC，连接DF．
（1）求证：△EDF≌△CFD；
（2）求证：△AEG≌△DCA；
（3）判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质得出∠EDF=∠DFC，∠EFD=∠CDF，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）求出三角形ADG是等边三角形，求出∠AGD=∠DAC=60°，AG=AD，起床EG=AC，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（3）根据全等得出AE=DC，DC=EF，∠AEG=∠ACD，∠DEF=∠DCB，求出∠AEF=∠AEG+∠FED=60°，根据等边三角形的判定定理推出即可．

解答：证明：（1）∵EG∥BC，EF∥DC，
∴∠EDF=∠DFC，∠EFD=∠CDF，
在△EDF和△CFD中

∠EDF=∠DFC DF=DF ∠EFD=∠CDF

∴△EDF≌△CFD；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC=AC，
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，
即∠ADG=∠AGD=∠DAG=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=AG=DG，
∵AB=AC=BC，
∴BD=CG，
∵△EDF≌△CFD，
∴DE=DC，
∵DE=DB，DB=CG，
∴DE=CG，
∵DG=AG，
∴EG=CA，
在△AEG和△DCA中

EG=AC ∠AGE=∠DAC AG=AD

∴△AEG≌△DCA；

（3）解：△AEF的形状是等边三角形，
理由是：∵△AEG≌△DCA，△EDF≌△CFD，
∴AE=DC，DC=EF，∠AEG=∠ACD，∠DEF=∠DCB，
∵∠ACB=∠ACD+∠FCD=60°，
∴∠AEF=∠AEG+∠FED=∠ACB=60°，
∵AE=EF，
∴△AEF是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，有一定的难度．