Question

如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点E作⊙O的切线，交AB延长线于点C，过A点作AD⊥CE于点D，且与⊙O交于点F，连接AE、BF．
（1）AE是否为∠CAD的平分线，说明理由；
（2）若CB=2，CE=4，求⊙O的半径及BF的长．

Answer 1

解：（1）AE是∠CAD的平分线．
理由：连接OE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥GE，
∵AD⊥CE，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴CAE∠=∠DAE，
∴AE是∠CAD的角平分线；

（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△CEO中，∵CO²=OE²+CE²，CB=2，CE=4，
∴（2+r）²=r²+16，
∴r=3，
设BF与OE交于点G，
∵∠AFB=90°，
∴BF⊥AD，∵AD⊥CE，
∴BF∥CD，
∵OE⊥EC，
∴OE⊥BF，
∴BG=GF，
∵BF∥CD，
∴△OBG∽△OCE，
∴OB：OC=BG：CE，
∴，
∴BG=，
∴BF=2BG=．
分析：（1）AE是∠CAD的平分线．理由：连接OE，首先利用切线性质得到OE⊥GE，而AD⊥CE，由此得到OE∥AD，然后利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△CEO中利用勾股定理可以列出关于r的方程，解方程求出r，设BF与OE交于点G，然后利用已知条件和平行线的性质证明△OBG∽△OCE，接着他相似三角形的性质即可求解．
点评：本题考查了圆的切线性质，平行线的性质与判定及相似三角形的性质与判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．