Question

如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），且直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3，求这个二次函数解析式．

Answer 1

分析：根据二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），利用顶点法设该二次函数解析式为y=a（x-2）²+4．根据直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，则可确定P点的坐标，并设Q、R点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．根据两点间的距离公式与PQ：QR=1：3求得|x₂|与|x₁|的比值．直线y=x+4与抛物线相交于Q、R两点列出方程a（x-2）²+4=x+4，利用一元二次方程根与系数的关系，得到

x1•x2=4  x1+x2= 4a+1 a

，求出x₁、x₂、a的值．因此抛物线即可确定．

解答：解：∵图象的顶点坐标是（2，4），
∴所以设y=a（x-2）²+4      ①，
P点的坐标是（0，4），设Q、R点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
则y₁=x₁+4，y₂=x₂+4，
∴|PQ|=

(x1-0)2+(y1-4)2

=

x12+x12

=

2

|x1|，
|PR|=

(x2-0)2+(y2-4)2

=

2

|x2|，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之处，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，即

2

|x1|：

2

|x2|=1：4，
∴|x₂|=4|x₁|②，
又x₁，x₂是抛物线与直线交点的横坐标，
∴a（x-2）²+4=x+4，即ax²-4（4a+1）x+4a=0，
∴a(x2-

4a+1

a

x+4)=0，
由韦达定理，得

x1•x2=4                   ③ x1+x2= 4a+1 a      ④

，
由③得，x₁、x₂同号，再由②得      x₂=4x₁，
∴x₁=±1，x₂=±4，从④得a=1或a=-

1

9

，
∴y=x²-4x+8或y=-

1

9

x2+

4

9

x+

32

9

，
答：这个二次函数解析式y=x²-4x+8或y=-

1

9

x2+

4

9

x+

32

9

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系．主要考查学生数形结合的数学思想方法．