Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上．
（1）若AE∥DF，如图1，则四边形AEFD是否是矩形？请说明理由．
（2）若AB=AD，∠B=40°，如图2，求∠EAF的度数．

Answer 1

解：（1）四边形AEFD为矩形，
证明：∵AD∥BC，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
∵AD∥BC，AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形，
∴CD=AF，
又AB=CD，∴DE=AF，
∴四边形AEFD为矩形；

（2）由（1）得四边形ABED为平行四边形，
∴AD=BE，又AD=AB，
∴BE=AB，又∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA==70°，
由四边形ABCD是梯形且AB=CD，即四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠C=∠B=40°，
又AF∥DC，∴∠AFE=∠C=40°，
则∠EAF=∠BEA-∠AFE=30°．
分析：（1）由两组对边互相平行的四边形为平行四边形，得到AEFD为平行四边形，然后由两组对边平行的四边形判断得到四边形ABED与AFCD都为平行四边形，根据平行四边形的性质对边相等，得到AB与DE相等，AF与CD相等，又AB与DC相等，等量代换得到AF与ED相等，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可得证；
（2）由（1）得到的四边形ABED为平行四边形得到AD与BE相等，又AB与AD相等，等量代换得到AB与AE相等，根据等边对等角，由∠B的度数求出∠AEB的度数，又此梯形为等腰梯形，故∠B与∠C相等，根据AF∥DC，得到一对同位角∠AFB与∠C相等，得到∠AFB的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可求出∠EAF的度数．
点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰梯形的性质及矩形的判定．第一问证明矩形的思路为先证明四边形为平行四边形，然后再证有一个角为直角或对角线相等；也可以证明四边形的三个角为直角，要根据题意选择合适的证明方法．第二问求角的思路是通过角度的转换，利用“构造外角法”解决问题．